Per sobre de tot, el Blackjack va de guanyar diners. Les nostres decisions son tant bones com els diners que ens fan guanyar. Per assegurar-nos que prenem les decisions correctes, hem d'entendre com aquestes decisions afecten els nostres guanys a la llarga. En aquest capítol intentarem predir els guanys que podem esperar en funció de les decisions que prenem.

Comencem amb un exemple. Imagina un jugador prudent que demana carta amb 14 o menys i es planta amb 15 o més, sense doblar ni dividir mai. Comença a jugar amb un pot de 100€, apostant 10€ per ronda, i juga 100 rondes. Diguem que no té gaire sort i aconsegueix unes 37 victòries, 5 blackjacks, 8 empats i 50 derrotes (no són números aleatoris; més endavant veurem d'on surten). Al final de les 100 rondes el seu pot haurà variat d'aquesta manera:

És a dir, haurà perdut 55€ al llarg de 100 rondes. Un resultat bastant decebedor. Hi havia alguna manera de predir aquest resultat abans de començar a jugar? Vegem fins a quin punt ens hi podem acostar. Coneixem l'estratègia del jugador: "plantar-se amb 15". Amb això podem obtenir les seves puntuacions finals esperades, fent servir el mètode que vam descriure al capítol 2.

Font: https://capelski.github.io/blackjack-stats/ca/threshold/scores?t=15

Com que també coneixem les puntuacions finals esperades del crupier, podem creuar els dos conjunts de puntuacions finals per esbrinar amb quina freqüència el jugador pot esperar guanyar, empatar o perdre. Creuar les puntuacions finals consisteix a crear un escenari per a cada puntuació final possible del jugador i cada puntuació final possible del crupier. Com que cada escenari està definit per les dues puntuacions, podem determinar el resultat de la partida en cada escenari. Per exemple, quan el jugador té una puntuació de 15 i el crupier té una puntuació de 17, el jugador perd. Quan el jugador té una puntuació de 20 i el crupier té una puntuació de 18, el jugador guanya. I així successivament. Aquesta és la matriu d'escenaris per a l'estratègia de "plantar-se amb 15".

Font: https://capelski.github.io/blackjack-stats/ca/threshold/results/matrix?t=15&mm=result

I encara n'hi ha més. Coneixem la probabilitat de cada puntuació final, tant del jugador com del crupier. Podem doncs calcular la probabilitat de cada escenari, multiplicant la probabilitat que el jugador acabi amb la puntuació X per la probabilitat que el crupier acabi amb la puntuació Y. Esperem que el jugador acabi amb una puntuació de, per exemple, 17 en el 12.27% de les partides. També esperem que el crupier acabi amb una puntuació de 17 en el 14.51% de les partides. Per tant, podem esperar que tant el jugador com el crupier empatin amb una puntuació de 17 en el 12.27% x 14.51% = 1.78% de les partides. Calcular la probabilitat de tots els escenaris genera la taula següent.

Font: https://capelski.github.io/blackjack-stats/ca/threshold/results/matrix?t=15

Les probabilitats de les puntuacions finals del crupier no canvien quan analitzem un subconjunt de puntuacions finals del jugador. En altres paraules, si el crupier acaba amb una puntuació de 17 en el 14.51% de totes les partides, també acabarà amb una puntuació de 17 en el 14.51% de les partides en què el jugador té una puntuació de X. En estadística, això s'anomena invariància de selecció.

Aquesta taula és bastant extensa. Anton Txékhov, un dramaturg rus, deia que si en una història apareix una pistola, s'ha de disparar abans que la història s'acabi. Podríem establir un principi semblant en estadística: si en una història apareix una taula, les seves dades s'han de combinar per produir un o més indicadors abans que la història s'acabi. En aquesta història obtindrem aquests indicadors agrupant les probabilitats per resultat: victòries, empats i derrotes. A més, com que les victòries amb blackjack es paguen millor, en farem un grup separat.

• Victòries = 3.74 + 3.60 + 3.46 + ... = 37.56%
• Victòries amb blackjack = 0.69% + 0.66% + 0.63% + ... = 4.51%
• Empats = 1.78% + 1.63% + 1.48% + ... = 8.33%
• Derrotes = 1.93% + 1.85% + 1.77% + ... = 49.60%

Aquestes probabilitats agrupades comencen a dibuixar un retrat de l'estratègia de "plantar-se amb 15". Un retrat que ens diu, per exemple, que el jugador prudent perd més sovint del que guanya. El retrat no explica, però, com aquest nombre més alt de derrotes afecta els nostres guanys al llarg del temps. Com que el que ens interessa són els guanys, voldrem traduir cada resultat a guanys. Una manera pràctica de fer-ho és expressar els guanys de cada resultat en termes de variació del pot:

• Les victòries incrementen el pot en l'import apostat. +1 aposta
• Les victòries amb blackjack incrementen el pot en 3/2 vegades l'import apostat. +3/2 apostes
• Els empats no afecten el pot. +0 apostes
• Les derrotes redueixen el pot en l'import apostat. -1 aposta

Sabem amb quina freqüència esperem obtenir cada resultat i sabem com cada resultat afecta el nostre pot. Podem combinar aquestes dues informacions per calcular la variació esperada del pot a la llarga. Per fer-ho, farem servir una aposta de mida fixa, així podem equiparar victòries i derrotes. Si canviéssim la mida de l'aposta a mesura que avança la partida ja no ho podríem fer. El número resultant és un indicador excel·lent dels guanys esperats que proporciona una estratègia, i sovint s'anomena avantatge en la comunitat del Blackjack.

L'avantatge ens diu quin percentatge de la nostra aposta podem esperar guanyar o perdre per ronda de mitjana. Si l'avantatge és negatiu, el joc afavoreix el crupier i podem esperar perdre diners a la llarga. Al contrari, si l'avantatge és positiu, el joc afavoreix el jugador i podem esperar guanyar diners. L'avantatge de l'estratègia de "plantar-se amb 15" ens diu que, de mitjana, podem esperar que el nostre pot es redueixi un 5.27% de l'import apostat per ronda.

Valors d'avantatge negatius ens donen una idea de quantes rondes podem esperar jugar abans de quedar-nos sense diners. Donat el pot inicial expressat en termes d'apostes, podem esbrinar quant tarda el pot a arribar a 0. Si comencem a jugar amb un pot de, per exemple, 10 apostes i sabem que perdem el 5.27% de l'import apostat per ronda, podem esperar quedar-nos sense diners després de 10 apostes / 0.0527 apostes per ronda = 189.7 rondes.

L'indicador de l'avantatge ens ajuda a predir quants diners guanyarem o perdrem a la llarga. Tornem a l'exemple del jugador prudent. Sabem que pot esperar perdre, de mitjana, el 5.27% de la seva aposta cada ronda. Com que aposta 10€ per ronda, això vol dir perdre 0.527€ per ronda. Després de 100 rondes, pot esperar haver perdut 52.7€. El jugador ha perdut 55€ en l'exemple anterior, així que la predicció és força encertada!

Això no és cap casualitat, evidentment. He triat convenientment el nombre de victòries, derrotes i empats perquè quedin molt a prop de les probabilitats esperades. 37.56% de victòries => 37 victòries, 4.51% de victòries amb blackjack => 5 blackjacks, etc. Si el jugador guanya més rondes, els resultats reals s'allunyaran de la predicció. Si el jugador guanya menys rondes, els resultats reals s'allunyaran de la predicció de la mateixa manera. Com que, a la llarga, les probabilitats esperades tendeixen a complir-se, podem assumir que els números que he fet servir no estan gaire lluny dels resultats reals.

Finalment, l'indicador de l'avantatge ens permet comparar estratègies diferents. Aquests són els indicadors de diverses estratègies de "plantar-se amb X". L'estratègia de "plantar-se amb 16" és la que té el valor d'avantatge més alt i és, per tant, la més rendible de totes. Al capítol següent farem servir l'indicador de l'avantatge per esbrinar les accions òptimes que maximitzen els guanys per a cada puntuació possible.

Històric de posts